利用深度神经网络作为几何表示方法对晶格结构进行结构优化

《Graphical Models》：Structural optimization of lattice structures using deep neural networks as geometry representation

晶格结构优化方法基于神经网络隐式几何表示，提出扩展的DeepSDF与可微网格生成技术，实现连续参数化与梯度优化，通过有限元分析验证在复杂荷载下结构性能优化效果。

　　在当前的研究中，我们提出了一种基于神经网络的晶格结构优化方法，该方法利用神经网络对几何结构进行隐式表示，从而实现对复杂晶格结构的高效设计。传统的拓扑优化方法通常依赖于显式的几何参数化，这在处理具有不同单元结构的晶格时可能受到限制。而我们的方法通过引入连续且低维的潜在空间，能够对不同单元结构进行编码，并在优化过程中实现单元结构的连续变化，从而获得功能梯度的晶格结构。与传统方法相比，这种方法不仅避免了对大尺度分离或周期性结构的假设，还通过全尺寸有限元分析（FEM）对结构的物理行为进行准确预测，从而确保优化结果符合实际工程需求。

为了实现这一目标，我们采用了深度有符号距离场（DeepSDF）方法，该方法通过神经网络学习有符号距离函数（SDF），从而对几何形状进行隐式表示。SDF 是一种函数，可以将三维空间中的每个点映射到其与几何体表面的距离，其中内部点距离为负，外部点距离为正。通过将不同单元结构的几何信息编码为潜在向量，并在优化过程中调整这些潜在向量，我们可以生成具有复杂几何特征的晶格结构。此外，我们还引入了一种可微分的网格提取算法，用于从 SDF 中生成适用于 FEM 分析的网格。这种方法不仅提高了网格质量，还支持基于梯度的优化方法，从而实现了高效的优化过程。

在神经网络的训练过程中，我们采用了一种自适应学习率的优化器（ADAM），并通过损失函数对网络输出与实际几何体之间的差异进行最小化。损失函数包括对 SDF 的拟合误差和对潜在向量的正则化项，以确保生成的几何结构具有良好的连续性和可制造性。为了进一步提高灵活性，我们还结合了深度局部形状（Deep Local Shapes）方法，将整个几何体划分为多个局部区域，每个区域由独立的潜在向量进行编码。这种方法允许我们对不同区域进行独立的优化，从而更好地适应复杂的几何形状。

在网格生成阶段，我们使用了可微分的 Dual Marching Cubes 算法的扩展版本 FlexiCubes，该算法能够生成高质量的表面网格，并通过自由变形（FFD）对网格进行进一步调整。通过这种方法，我们能够生成适用于 FEM 分析的三维网格，并确保其在优化过程中保持连续性。同时，这种方法还支持对网格进行连续变形，从而允许在不同优化步骤中调整单元结构的几何形状。

在优化过程中，我们采用了一种基于梯度的方法，通过链式法则计算目标函数（如刚度）和约束条件（如体积）对设计变量的导数。这些导数用于指导优化算法，如 MMA（方法移动渐近线）方法，以更新潜在向量并调整晶格结构。通过这种方式，我们能够在满足体积约束的前提下，优化晶格结构的刚度，从而获得性能更优的设计。

在实际测试中，我们对两种不同的案例进行了分析。第一种案例是一个简单的悬臂梁结构，通过优化晶格单元的厚度，我们实现了对结构刚度的最小化。第二种案例是一个类似于铰链的结构，需要同时满足两种不同的载荷条件。在第二种案例中，我们展示了如何通过调整潜在向量，使晶格结构在满足一种载荷条件的同时，保持另一种载荷条件下的刚度在一定范围内。这种多目标优化方法在实际工程中具有重要意义，因为它允许设计者在多个物理约束下进行优化。

在测试结果中，我们发现使用神经网络进行几何参数化的方法在处理复杂几何结构时表现出良好的适应性。通过调整潜在向量，我们能够生成具有不同形状和结构的晶格，同时保持其连续性和可制造性。此外，我们还发现，通过引入可微分的网格提取方法，可以显著提高优化过程的计算效率，并减少由于网格不连续性带来的误差。

然而，这种方法仍然存在一些局限性。例如，神经网络的训练数据和潜在向量的选择对最终结果有重要影响。此外，对于某些需要考虑接触或制造限制的结构，还需要进一步的改进。未来的工作可以包括扩展训练数据集，引入更高维的潜在空间，以及探索其他参数化方法，如使用样条曲线作为变换函数，或采用浸入边界法（IBMs）等替代方法。

总体而言，这种方法提供了一种新的思路，用于晶格结构的优化设计。通过结合神经网络的隐式几何表示和可微分的网格生成技术，我们能够在保持结构连续性和制造性的同时，实现对晶格结构的高效优化。这种方法不仅适用于结构力学中的优化问题，还可以推广到其他物理现象，如热传导、流体流动和磁静态等。未来的研究将进一步探索其在更复杂工程问题中的应用，并优化其计算效率和适应性。