无奇点扭转极限约束的球形关节

《Proceedings of the ACM on Computer Graphics and Interactive Techniques》：Singularity-free Twist Limit Constraints for the Ball Joint

摆动-扭转分解在球关节约束中易因奇点导致不稳定。本文提出两种新方法：基于欧拉角分解的物理三轴机构模拟法，通过调整零扭转向量避免奇点；增量式模型通过时间积分跟踪瞬时扭转速度，消除奇点影响。实验显示，两种方法在Unity、Unreal中均能保持稳定，减少异常摆动，且符合MuJoCo的物理模拟结果。

　　在物理模拟和计算机图形学领域，球关节（ball joint）是模拟刚体系统时常用的一种连接方式。球关节允许完全的旋转自由度，但实际应用中，往往需要对旋转范围进行限制。这种限制通常包括对摆动（swing）和旋转（twist）两个方向的约束。然而，在现有的许多物理引擎中，对于旋转方向的约束处理存在不稳定性，特别是在常用的摆动-旋转分解方法中，由于未处理的奇点问题，旋转状态有时会变得无法定义。本文提出了一种新的方法，以解决球关节旋转限制中的不稳定性问题。

在建模过程中，将球关节的旋转分解为摆动和旋转两个部分是一种常见的做法。这种分解方式在某些情况下可能不唯一，特别是在使用欧拉角分解时，会出现两个奇点。这些奇点的存在使得在某些模拟过程中，系统可能表现出不稳定的旋转行为。然而，通过观察真实三轴万向节的物理特性，我们可以设计一种方法，在奇点处保持旋转限制的稳定性。这种方法避免了直接避开奇点的需求，从而提高了模拟的鲁棒性。此外，我们还提出了一种增量模型，该模型通过时间积分的方式来计算旋转角度，使得奇点不会出现在当前状态中，从而保证了旋转限制的稳定性。

为了实现这些模型，我们需要考虑球关节的旋转分解方式。通常情况下，球关节的旋转可以被分解为两个部分：摆动和旋转。摆动部分负责将参考旋转轴对齐到当前旋转轴，而旋转部分则围绕该轴进行旋转。这种分解方式虽然在某些情况下能够提供直观的物理解释，但其奇点的存在可能导致模拟中的不稳定性。例如，在直接摆动-旋转分解中，当摆动角度达到π时，分解将无法唯一确定，从而导致旋转角度的敏感性问题。

在实际应用中，许多游戏引擎和物理模拟系统都支持球关节的旋转限制。然而，这些系统在处理旋转限制时，往往缺乏鲁棒性。例如，在Unreal和Unity等引擎中，直接摆动-旋转分解方式虽然简单，但容易在奇点附近导致模拟的不稳定性。这可能是由于这些引擎在实现分解方法时，没有正确处理奇点，导致在某些情况下旋转角度变得不连续或不可预测。

为了克服这些限制，我们提出了一种基于欧拉角分解的旋转限制模型。该模型利用了欧拉角分解的物理意义，即三轴万向节的结构。在欧拉角分解中，当旋转角度β超过±π/2时，分解会出现奇点。然而，通过调整γ的偏移量，我们可以确保旋转角度在时间上保持连续。这种方法可以有效避免奇点对模拟的干扰，同时保持旋转限制的稳定性。

另一种方法是增量模型，该模型通过时间积分的方式来计算旋转角度。这种方法避免了直接处理奇点的需求，因为它始终将系统视为处于参考状态附近。这样，即使系统在某些情况下接近奇点，也不会出现不连续的旋转角度。此外，增量模型具有旋转不变性，这意味着无论系统的摆动状态如何，旋转限制的处理方式都保持一致。

本文的贡献包括对现有摆动-旋转分解方法的深入分析，以及提出两种新的旋转限制模型。这两种模型在保持旋转限制的稳定性方面表现出色，能够有效避免奇点带来的问题。通过实验验证，我们发现这两种模型在实际应用中都能提供良好的鲁棒性，并且能够更好地模拟球关节的物理行为。

在实验部分，我们比较了不同旋转限制模型在实际模拟中的表现。通过在Unreal、Unity和MuJoCo等物理引擎中进行测试，我们发现，尽管这些引擎支持旋转限制，但在某些情况下，旋转角度的不连续性会导致模拟的不稳定性。而我们提出的两种模型则能够保持旋转角度的连续性，从而避免了这些问题。

此外，我们还研究了摆动和旋转分解方法对模拟行为的影响。例如，在直接摆动-旋转分解中，当摆动角度接近π时，旋转角度的敏感性可能导致模拟中的不稳定性。而在欧拉角分解中，虽然存在两个奇点，但通过调整γ的偏移量，可以确保旋转角度的连续性。这使得在实际应用中，欧拉角分解模型能够更好地模拟球关节的物理行为。

总的来说，本文提出的方法在处理球关节旋转限制时，提供了两种新的解决方案。这些方法能够有效避免奇点带来的不稳定性，同时保持旋转限制的鲁棒性。通过实验验证，我们发现这两种模型在实际应用中都能提供良好的模拟效果，并且能够更好地模拟球关节的物理行为。