重新审视点扩散函数模型：统一框架与高性能实现——推动高数值孔径显微成像与深度学习融合

《Journal of Microscopy》：Revisiting PSF models: Unifying framework and high-performance implementation

本综述系统性地重新审视了高数值孔径（NA）成像系统中的点扩散函数（PSF）模型，提出了统一傅里叶与贝塞尔方法的理论框架，并开发了基于PyTorch的高性能开源库。研究证明了两种方法的等效性，首次实现了对矢量场传播、Gibson-Lanni像差、偏振效应等关键物理因素的统一建模，为超分辨显微（SR-SIM/STED）、单分子定位显微（SMLM）和三维解卷积等前沿技术提供了精确的计算基础。该工作显著提升了PSF在深度学习管道中的集成效率，为计算显微成像领域建立了新的标准。

　　

1 引言：PSF模型的重要性与挑战

点扩散函数（PSF）作为光学显微镜的核心特征，在单分子定位显微（SMLM）、结构光照明显微（SR-SIM）、受激发射损耗显微（STED）和MINFLUX等超分辨技术中起着决定性作用。尽管已有基于二维傅里叶变换和一维贝塞尔积分的不同模型，但缺乏统一框架和性能对比。现有Java和MATLAB实现难以融入深度学习流程，迫切需要新一代计算工具。

2 背景：从标量到矢量模型的发展

基于Richards-Wolf积分的高NA模型已成为标准，其中球坐标参数化（贝塞尔函数）和笛卡尔坐标参数化（傅里叶变换）形成两大技术路线。Gibson-Lanni模型首次解决了折射率失配引起的球差，而矢量模型进一步考虑了电场分量的交叉耦合。现有实现存在计算效率低、缺乏现代深度学习框架支持等局限。

3 理论框架：统一的光传播模型

3.1 Richards-Wolf基础模型

聚焦电场通过球面波积分表示为：

E(ρ) = -ifk/2π?_Ω e_∞(s) exp(iks·ρ)dΩ

其中s=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)为方向矢量，k=2πn/λ为波数。

3.2 标量模型简化

在低NA情况下，标量近似简化了计算：

E(ρ) = -ifk/2π?_Ω e_∞(s_x,s_y) exp(iks·ρ)dΩ

笛卡尔参数化利用快速傅里叶变换（FFT）算法，而球坐标参数化通过贝塞尔函数实现高效计算。

3.3 矢量模型精确建模

高NA系统必须考虑矢量效应，通过坐标变换和Fresnel传输系数实现精确建模：

e_∞(θ,φ) = [q_s(1-cos2φ)+q_p(1+cos2φ)cosθ] e_inc^x/2 + ...

其中q_s和q_p分别为s和p偏振的传输系数。

3.4 校正因子统一集成

3.4.1 Gibson-Lanni像差

多层介质折射率失配引起的相位差：

W(s) = k∑(n_mt_mcosθ_m - n_mt_mcosθ_m^*)

3.4.2 任意相位像差

通过Zernike多项式建模光学缺陷：

W(s) = ∑c_kZ_k(s) + W₀(s)

3.4.3 切趾因子

能量守恒要求的振幅校正：

A(s) = √cosθ

3.4.4 高斯包络

实际照明光束的强度分布：

A(s) = exp(-sin2θ/s_env2)

4 实现：高性能计算库

4.1 PyTorch库设计

提供四种传播器实现：ScalarCartesianPropagator、ScalarSphericalPropagator、VectorialCartesianPropagator和VectorialSphericalPropagator。支持GPU加速和自动微分，Tensor形状设计为(z, channel, x, y)以优化性能。

4.2 开源生态集成

与napari可视化平台和Chromatix光学仿真框架深度集成，提供图形界面和JAX实现，支持端到端可微分模拟。

5 结果：性能与精度验证

5.1 PSF图库展示

在λ=632nm条件下，展示了低NA（0.5）和高NA（1.3）的标量与矢量模型对比。高NA情况下矢量效应显著，环状结构模糊，能量重新分布。

5.2 计算性能基准

5.2.1 速度基准

笛卡尔传播器在小尺寸（<512像素）时更快，球面传播器在GPU上表现优异。矢量传播器比标量版本慢1.5-3倍，但精度显著提升。

5.2.2 精度基准

以Airy盘解析解为基准：

F_AD(ρ) = 2J₁(ρ)/ρ

球面传播器使用Simpson规则达到四阶收敛，笛卡尔传播器显示1-2阶收敛。

6 结论：模型选择与未来应用

轴对称光束推荐使用球面传播器，非对称情况需笛卡尔传播器。该框架为深度学习在计算显微中的应用奠定基础，包括去卷积、3D SMLM重建和生成对抗网络（GAN）等方向。库地址：https://github.com/Biomedical-Imaging-Group/psf_generator

致谢

研究获得瑞士国家科学基金会（CRSII5_213521和PZ00P2_216211）资助，依托洛桑联邦理工学院（EPFL）完成。