无序起源与确定性结果：弹性网络结构如何印迹松弛态结构与力学性能

《Mechanics of Materials》：Disordered origins, deterministic outcomes: How the architecture of elastic networks imprints relaxed structure and mechanics

本研究针对弹性网络中无序性对松弛态结构和宏观力学性能的影响这一关键问题，通过构建具有不同无序类型（长度、拓扑和刚度）的网络类别，并在有限变形设定下进行平衡分析。研究发现，不同网络类别的松弛结构存在显著差异，这为利用易于获取的实验测量值来推断更复杂的微观结构细节开辟了新途径。该成果对理解软物质材料结构-性能关系及新材料设计具有重要意义。

　　

在我们周围的日常生活中，柔性网络无处不在——从隐形眼镜中的聚合物，到生物医学植入物、软体机器人，乃至构成我们脑组织的凝胶。准确预测材料行为和新材料设计的核心在于对材料微观结构的精确描述。微观结构特征不仅决定宏观力学性能，还在能量稳定性、网络内力传递以及损伤与断裂起始等方面扮演关键角色。然而，在实践中，网络结构的量化通常在网络形成后进行，这个松弛的网络状态源于聚合过程中初始化的构型，其中可能包含不同类型的不规则性（如网络的长度、刚度和连接性分布）。深入理解这些“缺陷”如何影响松弛网络结构和宏观力学性能，将极大促进材料表征：它可能允许我们使用易于获取的测量值（如局部刚度）来推断更难评估的网络结构细节（如连接性分布）。

尽管在理论和实验方面取得了进展，但一个反向的研究方向仍然缺失，即微观网络属性对平衡态松弛网络结构的影响。发表在《Mechanics of Materials》上的这项研究，旨在在完全通用的层面上解决柔性网络微观尺度无序性的影响。该分析基于系统趋向于其能量最小值的假设。

为了回答这些问题，研究人员构建了具有不同无序类型的网络类别，重点关注长度无序、刚度无序和拓扑无序这三种独立且 distinct 的类型。网络通过两种机制生成：从规则三角形网格诱导无序，或通过在单位晶胞内连接随机节点的最近邻搜索。每个节点代表一个交联点，每条边构成一个弹性活性链。弹簧弹性采用（非）线性势能建模。网络在满足宏观不可压缩性约束的条件下松弛，使用有限元库FEniCS结合PETSc非线性求解器最小化系统总应变能。研究量化了松弛后的长度分布、孔隙尺寸分布以及涌现的宏观剪切模量。

网络构建

研究人员通过两种不同的网络生成机制构建了具有不同无序性的网络类别：从规则三角形网格出发随后诱导无序，或者通过单位晶胞内随机节点的最近邻搜索进行连接。每个节点代表一个交联点，每条边构成一个弹性活性链。弹簧弹性采用（非）线性势能建模，其中考虑了本征应变。通过引入零静息长度，网络内的每个长度分布直接映射到应变分布。定义了四种无序类别：类别I（在规则三角形网络上添加节点扰动，诱导边长无序）、类别II（在长度无序基础上增加刚度无序，刚度与边长成反比缩放）、类别III（在长度无序基础上通过随机删除边引入拓扑无序，同时保持局部连接性高于刚性阈值）、类别IV（通过最近邻搜索在随机放置节点的单位晶胞内生成网络，引入长度和拓扑无序）。网络松弛在有限变形设定下进行，通过固定边界节点来强制宏观不可压缩性，并使用FEniCS和PETSc非线性求解器最小化系统总应变能。

长度分布

研究结果显示，不同无序类型的网络表现出截然不同的松弛长度分布特征。仅具有长度无序的网络（类别I）松弛后趋向于均匀分布。而同时具有长度和刚度无序的网络（类别II），其松弛长度分布逐渐转变为高斯（正态）分布。拓扑无序则瞬间改变了松弛特性：在规则网络中引入拓扑缺陷（类别III）导致松弛长度呈对数正态分布；而基于最近邻搜索生成的网络（类别IV）则呈现出指数分布，其尾部延伸至更大的分位数范围。非线性弹性行为不会定性改变结果，仅影响尾部区域。

宏观力学性能

通过纯剪切试验提取了松弛后网络的小应变剪切模量。研究发现，引入拓扑无序会降低松弛剪切模量，而增加系统内的长度无序则会提高宏观剪切模量。这与周期性桁架中长度无序会降低刚度的研究结果相反，表明完全柔性网络中弹簧的本征应变可能在宏观刚度中扮演重要角色。基于最近邻搜索的拓扑无序网络（类别IV）表现出低得多的宏观刚度。

孔隙尺寸分布

研究还量化了松弛后的孔隙尺寸分布，这与网络内的扩散和相分离起始相关。与长度分布不同，具有刚度和拓扑无序网络的孔隙尺寸分布更为复杂。具有长度和刚度无序的网络孔隙尺寸呈高斯分布，而拓扑缺陷导致分布更接近对数正态或指数分布，在较高尾部区域出现偏差。

该研究得出结论，弹性网络中不同类型的不规则性会导致独特的松弛特性。在微观尺度上，长度和刚度无序导致松弛长度呈高斯分布，而拓扑缺陷则分别导致对数正态或指数分布。这些发现可用于利用更易获取的实验测量值（如局部弹性刚度的对数正态分布，这在生物组织中常见）来推断更难以量化的网络微观结构细节（如拓扑不均匀性）。在宏观尺度上，拓扑无序降低剪切模量，而长度无序增加剪切模量，这主要受完全柔性网络中本征应变的支配。

这项研究为理解无序性在弹性网络中的作用提供了新的通用视角，建立了初始无序与松弛微观结构之间的直接联系，对软材料表征和设计具有重要意义。未来的扩展研究可包括半柔性网络、非弹性网络失效行为、低于渗流阈值的网络拓扑以及不同无序类别的组合效应。