扭曲电流代数及其相关泊松交换子代数的不变量

《International Mathematics Research Notices》：Invariants of Twisted Current Algebras and Related Poisson-Commutative Subalgebras

Loop代数自同构扩展及对称代数子代数Poisson互易性研究，证明在可约李代数情况下构造的Z1和Z2是? twisted Poisson代数，并建立与Panyushev-Yakimova结果的同态关系。

　　本研究聚焦于有限维李代数及其相关结构，探讨了在特定自同构作用下，循环代数的固定点子代数在对称代数中的表现。研究的核心在于分析这些子代数是否具有泊松交换性，并进一步研究它们在特定映射下的性质。

首先，我们考虑一个有限维李代数 $ q $ 和其上一个阶数为 $ m $ 的自同构 $ \vartheta $。基于 $ \vartheta $，我们可以将它扩展到 $ q $ 的循环代数 $ \hat{q} = q[t, t^{-1}] $ 上，从而得到一个自同构作用在该循环代数上的结构。接着，研究关注的是这个自同构作用下循环代数的固定点子代数 $ \hat{q}^\vartheta $，并进一步构造其对称代数中的子代数 $ Z_1 $ 和 $ Z_2 $。

在 $ q $ 是可约的情况下，研究证明了这两个子代数 $ Z_1 $ 和 $ Z_2 $ 都是泊松交换的。这意味着它们在泊松代数结构下，其所有元素之间的泊松括号均为零，从而表现出良好的可交换性。此外，研究还指出 $ Z_1 $ 始终是一个多项式环，具有无限多个生成元，并且这些生成元可以被明确地描述出来。而 $ Z_2 $ 则在一定条件下也表现出类似的特性。

进一步地，研究还考察了自然的李代数同态 $ \psi: \hat{q}^\vartheta \to q[t, t^{-1}]^\vartheta / (t^m - 1) $，其映射结构与某些经典泊松交换子代数之间存在紧密联系。特别是，研究指出 $ \psi(Z_1) $ 和 $ \psi(Z_2) $ 与Panyushev–Yakimova在2021年构造的泊松交换子代数有相似之处，且在特定条件下，$ \psi(Z_2) $ 的结构可以被显式地刻画。

值得注意的是，与未扭曲的情况相比，这里的研究揭示了 $ Z_1 $ 和 $ Z_2 $ 之间存在显著差异。这表明，自同构 $ \vartheta $ 的引入对子代数的结构和性质产生了深远影响。研究不仅提供了这些子代数的理论基础，还展示了它们在不同参数和条件下的具体表现，从而加深了对循环代数及其在对称代数中作用的理解。

本研究的结论具有重要的理论意义，尤其是在理解泊松交换子代数的结构及其在李代数中的应用方面。同时，它也为进一步探索自同构作用下的代数结构提供了新的视角和工具。通过将问题推广到扭曲情况，研究拓展了传统理论的边界，有助于揭示更广泛的代数现象。