短测地线近似控制标记长度谱的定量研究及其在负曲率流形刚性中的应用

《Ergodic Theory and Dynamical Systems》：Approximate control of the marked length spectrum by short geodesics

本文针对负曲率闭流形标记长度谱（MLS）刚性猜想中的有限逼近问题展开研究。作者EN Butt通过动力系统工具证明：当两个流形（M,g）和（N,g0）的MLS在有限测地线集合ΓL上满足（1-ε）≤ ?g(γ)/?g0(f*γ) ≤（1+ε）时，可推出全谱的定量控制（定理1.2）。该结果结合[But22]的刚性定理，进一步获得了局部对称空间（推论1.6）与一般负曲率流形（推论1.7）的度量近似等价性，以及二维情形下的利普希茨等价性（推论1.8）。研究首次系统建立了MLS有限数据与整体几何结构的定量关联，为负曲率流形的计算几何与动力系统交叉研究提供了新范式。

　　

在微分几何与动力系统的交叉领域，负曲率黎曼流形的标记长度谱（Marked Length Spectrum, MLS）刚性猜想长期备受关注。该猜想断言：闭负曲率流形（M,g）的等距类可由其MLS唯一确定，即每个自由同伦类中唯一闭测地线的长度函数?_g完全编码了度量g的几何信息。尽管该猜想在二维曲面[Cro90, Ota90]、高维局部对称空间[BCG95, Ham99]及度量充分接近情形[GKL22, GL19]已被证实，但无限维参数空间中的有限逼近问题始终悬而未决——是否存在有限条闭测地线能近似决定整体度量？

针对这一难题，芝加哥大学的EN Butt在《Ergodic Theory and Dynamical Systems》发表论文《Approximate control of the marked length spectrum by short geodesics》，通过动力系统与几何分析相结合的方法，首次实现了MLS的有限控制定量化。研究核心在于证明：当两个负曲率流形（M,g）和（N,g₀）的MLS在长度不超过L的闭测地线集合上ε-接近时，其全谱必然具有形如（1-ε-CL^-α）的逼近精度（定理1.2）。这一结果突破了传统刚性理论对无限数据的依赖，为计算几何中的流形重建算法提供了理论依据。

研究的关键技术路径包含三个层面：首先，作者利用测地线流的阿诺索夫（Anosov）特性，构造了单位切丛T¹M的δ-矩形覆盖（引理2.1），通过局部乘积结构将长测地线分解为短测地线组合（命题2.10）。其次，基于Gromov[Gro00]的轨道等价理论，建立了与度量拟等距常数A相关的霍尔德（H?lder）连续轨道等价F: T¹M → T¹N（命题2.4），其指数α= A^-1λ/Λ显式依赖于曲率界[?Λ²,?λ²]。最后，通过霍尔德估计与闭引理（引理3.10）的协同分析，将g-度量下的长度逼近传递至g₀度量（引理2.11），最终导出全谱控制不等式。

在几何分析层面，作者创新性地将霍尔德估计的常数控制与具体几何信息（如维度n、直径D、曲率界λ,Λ）解耦。通过深入分析霍普（horosphere）几何（图1），证明了局部乘积结构常数C₀仅依赖λ,Λ（命题3.3）。

这一突破性发现使得覆盖引理中的矩形数量上界C/δ²ⁿ⁺¹（引理4.1）及霍尔德指数α均摆脱了对特定度量的隐式依赖，为定理1.2的均匀性奠定了基础。

主要结果

1. 1.1.
   有限控制定理：在假设1.1条件下，存在L₀=L₀(n,Γ,λ,Λ)使得对所有γ∈Γ，MLS比值被限制在1±(ε+CL^-α)范围内（定理1.2）。其中常数C显式依赖于n,Γ,λ,Λ,D，指数α< (K/2n)(λ/Λ)与下确界K=inf_γ∈Γ(?_g(γ)/?_g0(f_*γ))相关。
2. 2.2.
   局部对称空间刚性：当（N,g₀）为局部对称空间时，存在ε₀=ε₀(λ,Λ,R)使得假设1.1可推出同伦于f的微分同胚F: M→N满足（1-Cε^α）‖v‖_g ≤ ‖dF(v)‖_g0 ≤（1+Cε^α）‖v‖_g（推论1.6），其中α< (1-ε)(λ²/Λ)(α₀²/16n)，α₀=min(2λ/Λ,1)为稳定霍尔德指数。
3. 3.3.
   体积逼近性质：在T¹N具C¹阿诺索夫分裂条件下，MLS有限逼近可推出体积比逼近（1-Cε^α）Vol(M) ≤ Vol(N) ≤（1+Cε^α）Vol(M)（推论1.7），为高维非对称流形提供了新的几何不变量控制方法。
4. 4.4.
   二维利普希茨等价：对C^1,β接近的曲面度量，有限MLS匹配可构造B-利普希茨映射（推论1.8），突破了Teichmüller空间有限维性的限制。

讨论与展望

本研究通过动力系统工具实现了MLS有限控制的定量突破，其意义体现在三个维度：方法论上，将霍尔德估计与几何常数显式关联的策略为双曲动力系统的定量研究提供了新范式；理论上，首次建立有限测地线数据与整体度量的显式误差界，推动了刚性猜想从定性到定量的转变；应用上，结果为负曲率流形的计算几何（如点云重建、医学影像分析）提供了可计算的误差控制模型。未来工作可进一步优化指数α的尖锐性，并探索该框架在非紧流形及带边界情形下的推广潜力。