基于分形几何与3D CAD模型的对流干燥虾质量传递比较研究：一种兼顾计算效率与收缩效应的新策略

《Food and Bioproducts Processing》：A Comparative Study of 3D CAD and Fractal Geometry Models for Analyzing Mass Transfer in Shrimp During Convective Drying

本研究针对虾类干燥过程中传统模型忽略产品收缩效应、计算成本高或几何简化过度的问题，创新性地提出将虾视为具有分形维数（δ=2.38）的可收缩球对称分形物体进行建模。通过比较3D CAD模型与分形对象模型在70、80、90°C下（含/不含干腌预处理）的对流干燥模拟，研究发现两种模型估算的水分扩散系数（D）无显著差异（p>0.05），且分形模型能有效整合收缩效应，计算效率远超3D模型。该分形对象方法为复杂形状食品的干燥分析和传质特性估算提供了高效且准确的简化方案。

　　

虾，作为一种经济价值高但极易腐败的海产品，其有效的干燥保存方法至关重要。然而，当前虾干燥模型的构建面临着一个两难困境：高精度的三维计算机辅助设计（3D CAD）模型虽然能忠实还原虾的复杂外形，但其计算成本高昂，且通常忽略了干燥过程中产品收缩这一关键物理现象；另一方面，采用简化几何形状（如无限长圆柱体、球体）的解析模型虽然计算简便，却因过度简化而限制了其应用的准确性。更值得注意的是，尽管干腌（dry salting）作为一种常见的预处理手段能影响产品的干燥行为，但关于干腌虾干燥特性的研究尚属空白。这些问题阻碍了对虾干燥过程中质量传递（Mass Transfer, MT）机制的深入理解，也制约了干燥工艺的优化。

为了在模型精度与计算效率之间找到平衡点，并有效整合收缩效应，来自墨西哥普埃布拉自治大学化学工程系的研究团队在《Food and Bioproducts Processing》上发表了一项创新性研究。他们独辟蹊径，尝试用一种全新的视角——分形几何（Fractal Geometry）来描绘虾这种不规则形状的物体。研究人员提出，可以将虾视为一个具有分形维数（Fractal Dimension, δ）的可收缩、球对称的“分形物体”。其核心在于，描述分形物体中扩散行为的控制方程，在数学形式上与经典几何体（如平板、无限长圆柱、球体）的一维非稳态扩散方程完全相同，只是几何参数m（m = δ - 1）可以取非整数值。这就使得利用一个相对简单的一维模型来近似模拟复杂三维形状物体中的质量传递成为可能。

那么，如何确定最能代表虾形状的分形维数呢？研究人员首先通过精细测量，构建了虾的精确3D CAD模型。然后，他们使用有限元法（Finite Element Method, FEM）数值求解了该模型中的水分扩散方程，获得了体积平均水分含量随无量纲时间（傅里叶数τ）变化的曲线。接着，通过迭代求解分形对象模型（其控制方程对应于m = δ - 1），并最小化其与3D CAD模型预测曲线的误差，最终确定最能代表虾几何形状的分形维数为δ = 2.38。这个数值介于无限长圆柱体（δ=2）和等高圆柱体（δ=2.63）之间，直观反映了虾的形态特征。

为了验证这一分形对象模型的实用性，研究团队进行了系统的实验。他们使用商业购买的预煮冷冻虾，部分样品经过7小时的干腌预处理，然后在70、80和90°C的温度下进行对流干燥实验。通过连续称重记录干燥动力学曲线，并利用图像分析技术量化虾在干燥过程中的收缩行为。关键的技术方法包括：通过3D扫描和CAD软件构建虾的精确几何模型；应用有限元法求解3D模型中的传质偏微分方程；采用直线斜率法（Method of Slopes）从实验数据中反算随时间变化的有效水分扩散系数D(Ψ)，该方法能有效处理产品收缩和扩散系数变化的情况；以及通过非线性回归确定分形维数和模型参数。

3.1. 虾的收缩行为

研究首先揭示了虾在干燥过程中的收缩规律。通过图像分析发现，虾的收缩近似各向同性。研究人员建立了一个线性收缩模型，并引入校正因子φ来表征与理想收缩（体积减少等于蒸发水体积）的偏差。对于未预处理和干腌虾，φ值分别为0.536和0.476（均小于1），表明虾在干燥过程中形成了多孔结构，并未完全塌陷。干腌虾在后续对流干燥中的收缩程度显著低于未预处理虾（p<0.05），这归因于干腌过程已导致部分失水和盐分在组织内的沉积起到了支撑作用。

3.2. 质量传递分析

体积平均水分含量的模拟结果显示，基于分形对象（δ=2.38）的模型预测与复杂的3D CAD模型预测在整个干燥过程中高度吻合，尤其是在主要干燥阶段。在水分扩散系数的估算上，两种模型展现了良好的一致性。对于未预处理的虾，基于3D CAD模型估算的70、80、90°C下的水分平均有效扩散系数（已考虑收缩）分别为4.86、5.40和7.04 (×10^-10) m²/s。干腌虾的相应值略低，分别为4.78、5.21和6.31 (×10^-10) m²/s，但统计学上无显著差异（p>0.05）。分形对象模型估算的扩散系数与3D CAD模型的结果差异也小于4%，进一步验证了其可靠性。

研究还发现，水分扩散系数D并非恒定不变。在干燥初期（高水分阶段），D有一个上升的“预热”阶段；在中期，D在一定水分范围内保持相对稳定；而在干燥末期，D再次上升，可能与组织微观结构的改变有关。与假定恒定扩散系数且忽略收缩的模型相比，结合了收缩效应和变扩散系数的3D CAD模型和分形对象模型能更准确地模拟实验干燥曲线，平均误差显著降低。

通过对扩散系数数据的回归分析，研究人员发现，在本实验条件下，干燥温度是影响扩散系数的显著因素，而干腌预处理和模型选择（3D CAD 与 分形对象）对扩散系数的估算均无显著影响。这表明，分形对象模型在捕捉核心传质特性方面，可以作为一种有效的替代方案。

综上所述，本研究成功地将分形几何概念引入复杂形状食品的干燥分析中。研究结果表明，用一个分形维数δ=2.38的一维分形对象模型，可以有效地近似虾的三维几何形状，用于干燥过程模拟和传质特性（如有效水分扩散系数）的估算。这种方法在保证与高精度3D模型相当准确性的同时，极大地降低了计算复杂性（计算效率提升约20,000倍），并且天然地便于整合产品收缩效应。该研究为食品加工领域，特别是针对不规则形状农产品的干燥过程模拟和优化，提供了一种新的、强有力的工具。未来工作的重点可以放在开发能够直接从食品几何特征预测其等效分形维数的方法上，从而进一步推广该方法的适用性。