分布式Koopman-Wasserstein框架下的多智能体系统稳态分布协同控制

《Franklin Open》：Distributed ergodic control via coupled optimal transport flows

本文针对多智能体系统在随机环境下实现协同稳态分布这一挑战，提出了一个基于Koopman算子和Wasserstein距离的分布式优化框架。研究人员通过结合动态模态分解和最优传输理论，开发了能够保证局部通信约束的协同控制算法，证明了算法具有图-曲率耦合的指数收敛速率。这项工作为智能电网频率调节和机器人编队等需要分布协调的应用提供了新的理论基础。

　　

在当今复杂系统控制领域，多智能体系统的协同控制面临着前所未有的挑战。每个智能体在随机环境中运行，受到各种不确定因素的干扰，如何让这些分散的个体在仅通过局部通信的情况下，实现全局的协同目标，成为工程师和数学家们共同关注的焦点问题。特别是在需要精确控制整个系统稳态分布的场合，如智能电网频率调节、无人机编队形成等应用中，传统的控制方法往往显得力不从心。

这一问题的核心难点在于，每个智能体的动态行为会影响整个系统的长期统计特性，而传统的基于轨迹跟踪的方法无法直接处理分布层面的协同要求。更重要的是，在实际应用中，智能体之间通常只能与邻近的个体进行通信，无法获取全局信息，这给协同控制带来了额外的约束。

为了应对这些挑战，研究人员在《Franklin Open》上发表了创新性研究成果，提出了一个将Koopman算子理论与最优传输理论相结合的分布式优化框架。该研究通过理论分析和数值实验证明，新方法能够在保证局部通信约束的前提下，实现多智能体系统稳态分布的有效协同，并且具有可证明的指数收敛速率。

本研究采用了几个关键技术方法：首先利用扩展动态模态分解（EDMD）来近似每个智能体的Koopman算子，从而获得其稳态分布的有限维表示；然后通过Wasserstein距离来衡量实际稳态分布与目标分布之间的差异；最后设计了基于图拉普拉斯算子的分布式优化算法，确保智能体仅需与邻居交换有限信息即可实现全局协同。

Koopman算子框架下的稳态分布表示

研究人员通过引入Koopman算子理论，将无限维的分布控制问题转化为有限维的优化问题。对于每个智能体，他们构建了一组观测函数基，通过这些基函数下的期望值来刻画稳态分布的特性。这种方法避免了直接处理概率密度函数的复杂性，同时保持了分布的主要统计特征。

Wasserstein距离作为分布对齐的度量工具

研究采用Wasserstein距离（W₂）作为衡量实际稳态分布与目标分布之间差异的指标。这一选择基于Wasserstein距离的良好几何性质，特别是在分布传输中的直观物理意义和数学上的良好性质。研究人员还探讨了切片Wasserstein距离等计算高效的近似方法，以降低计算复杂度。

分布式优化算法的设计与分析

针对多智能体系统的通信约束，研究提出了一个基于原始-对偶方法的分布式优化框架。每个智能体只需维护本地参数和对偶变量，并通过图拉普拉斯算子实现与邻居的协调。理论分析表明，该算法的收敛速率由Wasserstein距离的位移凸性和通信图的代数连通性共同决定，体现了图结构与分布几何的耦合效应。

收敛性理论与性能保证

通过严格的数学分析，研究人员证明了所提算法的全局收敛性，并给出了明确的指数收敛速率。这一速率估计揭示了系统性能与网络结构之间的定量关系，为实际应用中的参数调优提供了理论指导。

研究结论表明，将Koopman算子理论与最优传输理论相结合，为解决多智能体系统的分布式稳态分布控制问题提供了有效的框架。这一方法不仅具有坚实的理论基础，而且在实际应用中表现出良好的可扩展性和鲁棒性。讨论部分进一步指出，该框架可扩展至更广泛的随机控制系统，为未来研究指明了方向。

这项工作的重要意义在于，它首次将Koopman算子的线性化能力与Wasserstein几何的丰富结构相结合，为分布层面的协同控制提供了统一的数学框架。此外，研究所证明的图-曲率耦合收敛速率，深刻揭示了网络结构与控制性能之间的内在联系，为复杂网络系统的分析与设计提供了新的视角。