双曲空间标记随机连接模型的非唯一性相变：球面变换与平均场临界指数的理论突破

为解决双曲空间标记随机连接模型(RCMs)中无限簇唯一性临界点的确定问题，Matthew Dickson通过球面变换技术对角化邻接函数与两点函数算子，证明在高体积缩放机制下存在非唯一性相变(λu > λc)，并推导出平均场临界指数(γ=1, β=1, δ=2)。该研究为非欧几何中的随机图理论提供了新范式。

　　

在经典随机图理论中，欧几里得空间上的随机连接模型(Random Connection Models, RCMs)已被广泛研究，但双曲空间(H^d)上的标记RCMs因其非阿贝尔几何特性而充满挑战。双曲空间具有负曲率特性，其体积呈指数增长，导致传统欧氏空间的分析工具失效。更棘手的是，在双曲空间中，无限簇的唯一性问题长期悬而未决——阿曼空间（如R^d）的渗流理论证明无限簇几乎必然唯一，但双曲空间的非阿贝尔性可能允许多个无限簇共存。这一几何特性与标记空间的结合（标记集?赋予顶点异质性），使得临界行为分析变得极为复杂。此前研究多局限于局部有限图或特定模型，缺乏通用理论框架。

为攻克这一难题，Matthew Dickson在《Advances in Applied Probability》发表研究，通过引入球面变换(spherical transform)这一调和分析工具，首次系统性地解决了双曲空间标记RCMs的非唯一性相变和临界指数问题。研究证明，在高体积缩放机制下（即通过缩放函数σ_L拉伸空间距离），存在明确的临界强度区间λ_c < λ < λ_u，使得无限簇非唯一；同时，在特定条件下，临界指数呈现平均场值（γ=1, β=1, δ=2），与欧氏空间高维情形一致。这一成果不仅深化了对非欧几何中随机图行为的理解，还为网络科学中复杂网络（如互联网拓扑）的建模提供了理论支撑。

研究采用三大核心技术方法：

1. 1.
   基于泊松点过程（强度λν，ν=μ???）构建标记RCMs，其中邻接函数φ_L(r;a,b)依赖双曲距离r和标记a,b；
2. 2.
   运用球面变换对角化邻接算子Φ_L和两点函数算子??_λ,L，计算其L²→L²算子范数，界定临界强度λ_2→2；
3. 3.
   通过分支过程占优和三角图条件(triangle diagram)分析，证明λ_c与λ_u的分离性。所有分析基于双曲空间等距群不变性，确保理论普适性。

主要研究结果

1. 算子范数界限与临界强度分离

通过球面变换将邻接函数φ_L的算子范数‖Φ_L‖_2→2表示为显式积分（公式1.2），发现当缩放函数σ_L为体积线性（即σ_L(r)=V_d^?1(L·V_d(r))）时，‖Φ_L‖_2→2的增长速率低于总质量积分‖D_L‖_2→2。结合Mecke公式（引理4.2）和分支过程比较，证明λ_c(L) ≤ C_d/‖D_L‖_2→2，而λ_u(L) ≥ 1/‖Φ_L‖_2→2（引理6.1）。当L足够大时，二者严格分离，即λ_c(L) < λ_u(L)，表明非唯一性相变存在。

2. 平均场临界指数的推导

在三角图条件Δ_λ < ∞的前提下（定义4.1），应用Caicedo和Dickson（2024）的结论（命题6.1），证明当λ接近λ_c时，敏感性函数χ_λ ～ (λ_c - λ)^?1（指数γ=1），渗流概率θ_λ ～ (λ - λ_c)¹（β=1），且簇尾分布满足P_λ(#?? > n) ～ n^?1/2（δ=2）。该结果要求邻接函数满足有限标记条件（假设1）或体积线性缩放条件（假设2），并辅以核函数??的L²有界性（如乘积核κ^prod(a,b)=aζbζ中ζ<1/2）。

3. 布尔圆盘模型与权重依赖模型的应用

对于布尔圆盘模型（φ(r;a,b)=1_{{r < a+b}}），若半径分布??满足∫r²e^(d-1)r??(dr) < ∞（即R* < ∞），则非唯一性相变存在（推论2.1）；若∫e^(d-1)r??(dr)=∞，则λ_c=0且唯一簇几乎必然覆盖全空间。对于权重依赖模型（如κ^sum(a,b)=aζ+bζ），当ζ<1/2时‖??‖_2→2有限，非唯一性相变成立（推论2.2-2.3）；而弱核（κ^weak= (a∧b)^ζ）和优先连接核（κ^pa= (ab)^ζ）因算子范数无界，不满足理论条件。

4. 非局部有限图的扩展

命题2.1指出，当∫₀^∞ρ(r)Q_d(r)(sinh r)^d-1dr = ∞且‖??‖_2→2 < ∞时，即使顶点度几乎必然无限（λ_c=0），仍存在λ_u>0，表明非唯一性相变在非局部有限图中依然可能出现。

结论与意义

本研究通过球面变换这一创新工具，首次在双曲空间标记RCMs中建立了非唯一性相变的严格理论框架。其核心突破在于将几何分析（双曲等距群）、概率（泊松过程）和算子理论相结合，揭示了非阿贝尔几何如何影响渗流临界行为。结果表明，双曲空间的高膨胀性促使无限簇更易分裂，而标记异质性则通过核函数??调制相变边界。所获平均场临界指数验证了“高维行为在双曲空间中自然涌现”的猜想，弥补了欧氏空间d>6才出现平均场的局限性。

实际意义深远：其一，为复杂网络（如社交网络、神经网络）提供新模型——双曲空间RCMs能更真实刻画幂律度和小世界特性；其二，理论工具（球面变换、算子范数界限）可推广至其他非欧随机图；其三，对权重依赖模型的结论直接适用于几何非齐次随机图（geometric inhomogeneous random graphs），推动网络科学的理论前沿。未来工作可探索低维双曲空间（如H²）的精确临界点，或将球面变换应用于动态渗流问题。