电阻分路传输中布洛赫振荡的量子理论

当一个约瑟夫森结被嵌入到一个高电阻环境中，它就失去了超导特性，开始表现得像一个绝缘体。这导致电压振荡在电流偏置结-布洛赫振荡。在这里，作者发展了一个完整的量子理论。

　　

量子比特布洛赫振荡的量子理论研究解读

耶鲁大学物理系的 Vladislav D. Kurilovich、Benjamin Remez 和 Leonid I. Glazman 在Nature Communications上发表了题为 “Quantum theory of Bloch oscillations in a resistively shunted transmon” 的论文。该研究深入探究了嵌入高阻抗环境中的 transmon 量子比特的布洛赫振荡现象，为理解约瑟夫森结中的电荷传输、超导 - 绝缘转变等物理过程提供了重要理论依据，对量子计算、量子计量等领域的发展具有关键意义，有助于推动相关实验技术的改进以及新型量子器件的研发。

一、研究背景

（一）约瑟夫森效应与布洛赫振荡

在超导领域，约瑟夫森效应备受关注。当超导体之间存在约瑟夫森结时，会出现直流和交流约瑟夫森效应。其中，交流约瑟夫森效应表现为在电压偏置下，结中会产生频率为的单色电流振荡 。而布洛赫振荡则是与交流约瑟夫森效应对偶的现象，给小约瑟夫森结施加直流电流时，结两端会积累位移电荷，达到时库珀对隧穿，进而引发电压振荡，即布洛赫振荡。

（二）超导 - 绝缘转变争议

根据 Schmid 转变范式，当约瑟夫森结电磁环境的阻抗超过电阻量子时，结会从超导态转变为绝缘态。然而，这一转变的验证面临诸多挑战。此前实验测量的电阻分流结电压 - 电流特性与理论预测存在明显偏差，部分研究甚至对约瑟夫森结中超导 - 绝缘转变的概念提出质疑。不过，微波实验与约瑟夫森结阵列的结果似乎与 Schmid 转变预测相符。

（三）布洛赫振荡的实验证据与问题

近期实验通过观测对偶夏皮罗台阶（dual Shapiro steps）等现象，为布洛赫振荡的存在提供了证据。但与传统超导结中精确量化的夏皮罗台阶不同，对偶夏皮罗台阶的量化精度较低。此前研究仅对热涨落导致的台阶模糊进行了定量分析，而量子涨落对台阶锐度的影响尚未得到定量解答，布洛赫振荡频谱的单色性问题也有待深入研究。

二、研究材料与方法

（一）研究对象

研究聚焦于嵌入高阻抗电磁环境的 transmon 量子比特。transmon 量子比特本质上是一种约瑟夫森结，其约瑟夫森能量远超充电能量，这种特性使得其能谱由分离良好的电荷带组成，为观测布洛赫振荡创造了理想条件。

（二）电路模型

考虑两种电路（图 1 和图 2）。在图 1 电路中，transmon 量子比特被电阻分流，并由外部电流源偏置；图 2 电路里，transmon 量子比特与由约瑟夫森结构成的传输线电耦合，电流偏置通过同一线路提供。在极限下，传输线阻抗趋近常数 ，可将图 1 中的电阻等效为半无限传输线。

（三）哈密顿量描述

两种电路均由哈密顿量描述。其中，为 transmon 量子比特的哈密顿量，，包含静电能和约瑟夫森耦合能两部分；用于描述电磁环境的自由度， ，通过参数与环境阻抗相关联。

（四）理论计算方法

运用边界正弦 - 戈登模型，结合费米黄金规则等理论方法进行计算。在计算电压 - 电流关系时，通过评估电路中波发射的功率来推导；求解布洛赫振荡辐射频谱时，同样借助费米黄金规则；研究布洛赫 - 夏皮罗台阶时，则从海森堡运动方程出发，利用微扰理论、傅里叶级数展开以及类似玻恩 - 奥本海默近似的方法进行分析。

三、研究结果

（一）电压 - 电流特性

通过微扰计算，得到电压 - 电流关系。当时，有效电阻在时趋近于 0，transmon 表现为超导体；当时，在低偏置下发散，反映出结的库仑阻塞效应，对应 Schmid 转变。在低电流、时，transmon 近似为完美绝缘体，多数电流流经电阻，此时接近欧姆定律。通过有效哈密顿量描述库仑阻塞区域的电荷传输，得到的关系表明，库仑阻塞会使电压随急剧增加，且在高阻抗、时，呈现非单调性。

（二）布洛赫振荡辐射频谱

利用费米黄金规则计算得出，由于零电荷涨落，布洛赫振荡辐射频谱是非单色的。频谱形状取决于线路阻抗，在高阻抗线路（）中，频谱在处发散，但整体仍保持宽带特性，只有在的奇异极限下才变为单色。低偏置时，频谱会进一步展宽。

（三）布洛赫 - 夏皮罗台阶

布洛赫振荡可与外部微波辐射同步，同步时在关系中会出现台阶，这些台阶与传统夏皮罗台阶对偶。通过分析海森堡运动方程，将变量分解为快慢分量，得到台阶中心位置和形状的相关表达式。台阶宽度由决定，高度 ，且均与微波振幅和阻抗有关。在量子涨落可忽略的极限（，即）下，可得到完整的台阶形状公式，此时台阶是直流的复制，且台阶高度与微波振幅的关系类似于传统夏皮罗台阶。

四、研究结论与讨论

（一）研究结论

1. 明确了 transmon 量子比特在不同阻抗环境下的电压 - 电流特性，清晰展示了超导 - 绝缘转变过程中电阻的变化规律，确定了库仑阻塞区域的电流 - 电压关系，解释了高阻抗下的非单调性。
2. 揭示了布洛赫振荡频谱因量子涨落而具有宽带特性，以及频谱随阻抗变化的规律，为理解量子比特的辐射特性提供了理论依据。
3. 详细阐述了布洛赫 - 夏皮罗台阶的形成机制，给出了台阶形状、宽度和高度与阻抗、微波振幅之间的定量关系，完善了对这一量子现象的理论描述。

（二）讨论

1. 深入探讨了库仑阻塞对约瑟夫森结中超导电流传输的阻碍作用，明确了超导 - 绝缘转变与环境阻抗的关系，以及和对结绝缘行为区域大小的影响，进一步深化了对约瑟夫森结物理性质的理解。
2. 研究发现量子涨落对布洛赫振荡频谱和布洛赫 - 夏皮罗台阶锐度具有重要影响，这为实验中提高电流量化精度提供了关键的理论指导。通过对比理论与实验中布洛赫 - 夏皮罗台阶的宽度，指出其他机制（如微波诱导加热）可能影响台阶宽度，为后续实验优化指明了方向。
3. 本研究中电荷与相位涨落的对偶性为研究量子系统中的涨落现象提供了新的视角，其与传统夏皮罗台阶的关系有助于统一理解不同的量子电学现象，推动量子计算、量子计量等领域的理论发展。

（三）重要意义

该研究在理论上对布洛赫振荡现象进行了全面且深入的分析，为后续实验研究提供了精确的理论预测和坚实的指导。在量子计算领域，有助于优化量子比特的设计与操控，提高量子比特的性能和稳定性；在量子计量方面，为实现更精确的电流和电压标准提供了理论基础，有望推动相关计量技术的重大突破。此外，研究成果还为探索新型超导量子器件提供了创新思路，对凝聚态物理领域的基础研究和应用研究都具有深远的推动作用。