非马尔可夫过程中竞争事件的分裂概率研究：突破与发现

《SCIENCE ADVANCES》：Evidence and quantification of memory effects in competitive first-passage events

研究人员针对复杂系统中记忆对竞争事件分裂概率的影响开展研究，提出新理论并通过实验验证，意义重大。

　　在生活中，许多现象都涉及到竞争事件，比如赌徒在盈利前是否会破产，生物种群中突变体的固定概率，以及聚合物物理中 DNA 解链、蛋白质和 RNA 发夹折叠等过程。这些问题都与一个关键量 —— 分裂概率（splitting probability）密切相关，它指的是一个随机过程在其他事件发生前实现特定事件的概率。然而，目前大多数理论方法只能处理一维马尔可夫过程的分裂概率，对于复杂系统中普遍存在的非马尔可夫过程，由于记忆效应的存在，量化其对分裂概率的影响面临诸多困难。在非马尔可夫过程中，随机游走者或反应坐标的演化会受到与其他自由度的相互作用，使得其运动具有记忆性，这给研究带来了很大挑战。因此，开展对非马尔可夫过程中分裂概率的研究十分必要。

国外研究人员针对这一问题展开研究，相关成果发表在《SCIENCE ADVANCES》上。研究人员致力于找到一种方法来量化记忆效应对分裂概率的影响，为理解复杂系统中的竞争事件提供理论支持。

在研究中，研究人员运用了多种技术方法。首先，通过光学显微镜追踪微米级珠子在聚合物溶液中的运动轨迹，这种方法常用于微流变学研究，但研究人员将其应用于测量非马尔可夫过程的首次通过事件。其次，研究人员利用理论分析，提出了一种非微扰形式主义理论，通过建立相关方程来预测分裂概率，并与数值模拟结果进行对比验证。

研究结果主要包含以下几个方面：

1. 一般形式主义：研究人员考虑了在一维空间中，具有特定条件的随机游走过程，包括对称、增量平稳、连续且非光滑、具有高斯统计等特性。在存在两个完全吸收目标的情况下，引入平均轨迹μ1?(t)和μ2?(t)，并通过概率论证得出关键方程x0?=limt→∞?[π1?μ1?(t)+π2?μ2?(t)]。为了求解μ1?(t)和μ2?(t)，研究人员假设首次接触后轨迹的统计特性为高斯分布，由此得到自洽方程。通过数值求解这些方程，可以评估不同随机过程的分裂概率。对于弱非马尔可夫过程，该理论能给出精确结果；对于分数布朗运动（fBM）和 “双扩散”（bi - diffusive）过程等典型非马尔可夫过程，理论预测与模拟结果定量吻合，而马尔可夫预测则可能出现较大偏差。此外，对于尺度不变过程，研究人员还分析了其几何参数与分裂概率的关系，得到了相关的标度行为和预因子。
2. 实验：研究人员通过观察微米级珠子在粘弹性大聚合物重量溶液中的运动，测量了非马尔可夫过程的首次通过事件。珠子的运动可解释为遵循过阻尼广义朗之万方程（GLE），测量得到的均方位移（MSD）显示出短时间的异常扩散和长时间的扩散两种状态。研究人员通过拟合实验 MSD 曲线，选择合适的摩擦核函数来描述珠子的运动。实验结果表明，对于强粘弹性溶液，记忆效应增加了击中最近目标的概率，且实验值与理论预测吻合良好。同时，研究人员还测量了首次通过事件后的轨迹，发现系统在首次通过时并非处于平衡状态，这直接证明了记忆效应的存在。
3. 扩展到更高空间维度（d>1）：研究人员将理论扩展到更高维度，以描述一般的竞争反应。在高维情况下，考虑了随机游走者在有两个有限半径目标的空间中的运动，假设在大体积极限下，各维度满足一维运动的假设且具有各向同性。通过推导得到了高维情况下分裂概率的计算公式，尽管涉及更多近似，但理论结果能够很好地捕捉记忆对分裂概率的影响。

研究结论和讨论部分指出，该研究提出的理论能够预测记忆对竞争事件结果的影响，对于弱非马尔可夫过程在一阶非平凡阶是精确的，并且与数值模拟和实验结果定量一致。研究发现记忆的作用是增加击中最近目标的概率，这与其他导致亚扩散的情况不同。实验明确证明了系统在首次通过时的非平衡状态，这与分裂概率密切相关。该理论还可扩展到更高维度，为研究复杂介质中竞争反应的记忆效应开辟了道路，有助于进一步理解复杂系统中的竞争事件，为相关领域的研究提供了重要的理论支持和参考。